transform属性的数学原理

前言

transform本质上就是一个仿射变换(即线性变换 + 平移),从CSS给定的transform-function可以看出,内置的函数将变换分为了2D变换和3D变换两种,但是从CSS规范来看,2D变换函数也只不过是3D变换函数的特殊形式而已,所以transform属性从原理上来说就是一个3D仿射变换函数

关于仿射变换的详细数学解释,可以参考:
如何通俗地讲解「仿射变换」这个概念? - 马同学的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/20666664/answer/157400568

仿射变换的核心就是变换矩阵了,因此transform属性的两个核心函数就是matrix()matrix3d()

matrix()函数

仿射变换通常是通过齐次坐标进行变换的,因此2D变换矩阵也就相应地变成了3x3的齐次矩阵:

[actxbdty001][xy1]\begin{bmatrix} a & c & t_{x} \\ b & d & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}

上面就是matrix()函数的一般数学形式了,其中a,b,c,d,tx,tya, b, c, d, t_{x}, t_{y}就是该函数的六个参数了;属于2D变换的transform-function有:

  • translate/translateX/translateY
  • scale/scaleX/scaleY
  • rotate
  • skew/skewX/skewY

也就是说上面这些变换函数完全可以通过matrix()函数进行等价替换;这里做了一个Demo来体现matrix()函数与这些变换函数等价的体现;

img

每种仿射变换之间的形式还是有所区别的,有必要弄清楚每种变换对应矩阵形式(之前就是对斜切变换的矩阵一直有误解……):

M=[10tx01ty001]M=[sx000sy0001]M=[cosαsinα0sinαcosα0001]M=[1tanα0tanβ10001]\begin{aligned} M_{平移} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\[4ex] M_{缩放} &= \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\[4ex] M_{旋转} &= \begin{bmatrix} cos\alpha & -sin\alpha & 0 \\ sin\alpha & cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\[4ex] M_{斜切} &= \begin{bmatrix} 1 & tan\alpha & 0 \\ tan\beta & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

matrix3d()函数

同理,matrix3d()就是3D变换矩阵了,对应的就是4x4齐次矩阵:

[a1a2a3a4b1b2b3b4c1c2c3c4d1d2d3d4][xyz1]\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix}

因此,matrix3d()函数就有16个参数,需要注意参数的顺序是列主导的,也就是:

matrix3d(a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, d3, a4, b4, c4, d4)

为何这里不省略一些矩阵元素,像matrix()那样呢?大概是matrix3d除了模拟仿射变换,还要提供透视投影变换,因此需要完整的矩阵元素;属于3D变换的transform-function有:

  • translateZ
  • scaleZ
  • rotateX/rotateY/rotateZ/rotate3d
  • perspective

也就是说上面的变换函数都可以使用matrix3d()函数进行等价替换;平移和缩放的3D变换矩阵形式同2D形式无本质差异,就是相应的扩展了一个维度而已,值得关注的是绕任意轴进行旋转及透视投影相关的变换矩阵;

rotate3d()函数

rotate3d()函数实际上就是一个绕任意轴进行旋转的变换,它接受旋转轴的方向及旋转角度;

rotate3d(x, y, z, α)

img

上面就是对应的3D旋转变换矩阵,其中(x,y,z)(x, y, z)就是旋转轴的方向,α\alpha为旋转角度;

perspective()函数

该变换函数的作用就是设置当前视点距离屏幕(z = 0)平面的距离,从而形成相应的透视投影效果;

img

[100001000010001d1]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\large{\frac{1}{d}} & 1 \end{bmatrix}

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